洗牌次數與隨機性的探索：魔法風雲會玩家該洗幾次牌才夠亂？

1. 前言：為什麼要研究「洗幾次才亂」？

在卡牌遊戲──不論是撲克牌或 魔法風雲會 （Magic: The Gathering，以下簡稱 MTG）中，洗牌都是常見動作。然而，究竟要洗幾次才能確保「牌序混淆到近乎隨機」呢？而這對遊戲的平衡至關重要。

撲克牌常見52張，一般研究發現洗到7~8次就相當隨機。
MTG通常一套套牌有60張（不含 Sideboard）。在這種情況下，洗牌次數也可能需要稍做調整，以確保「初始手牌」、「抽牌順序」等都不會被任何可預測的規律影響。

尤其對MTG玩家而言，不只在意單純的「公平」，還要避免因為洗牌不當而出現「地牌集中或缺乏」等極端情況（俗稱卡地或爆地）。本篇文章將帶大家簡單了解：在60張MTG套牌的前提下，若要洗得足夠隨機，我們該怎麼考慮洗牌次數，並探討數學上怎麼衡量隨機性。

2. 簡單結論與實務建議

給MTG玩家的建議：想避免起手不公平或魔法力地牌分布被猜到，建議 至少洗6次。如果洗法隨興，最好到 9次以上 更保險。

3. 為什麼MTG玩家要在意洗牌隨機性？

許多MTG玩家可能都曾想過：「我洗個三、五次就夠了吧？」；但當套牌架構講究曲線、魔法力配置，以及在比賽對局中的牌序不可預測時，就必須確保洗牌的真正隨機。這裡有幾個原因：

確保「起手7張」的公平
不希望因為牌可能被「部分疊在一起」而造成某些關鍵卡過度集中。
參考撲克牌文獻
Bayer & Diaconis（1992）在研究52張牌時提到「7次riffle shuffle」幾乎足夠。那MTG的60張牌，會不會是洗個7~9次就行了？

洗牌若不夠隨機，就可能有心人去「記牌」、「操縱牌堆」；洗牌過多又浪費寶貴的比賽或休閒時間，於是「最佳洗牌次數」就是重要的研究議題。

4. 背景理論：如何衡量「隨機性」？

判斷「是不是夠隨機」，得先有個量化指標。研究中常見兩種方式：

變異距（Variation Distance）
令 Q(pi) 表示洗牌後每種牌序 pi 出現的機率，U(pi) 為「完全均勻」的理想機率（即 1 / (n!)）。則定義：

其中 n = 60 （對MTG而言），S_n 代表所有可能的排列（共有 n! 種)。若此距離夠小，就可說「跟理想隨機幾乎一樣」。可惜變異距的數學難度比較高，撰寫程式很麻煩，因此可以用另外一個方式替代。

卡方檢定（Chi-square Test）
透過模擬大量洗牌結果，與「完全隨機」分布比較，以卡方統計量：

觀察是否接近理想分布。 f_i 是實驗中觀測落在第 i 類的次數， e_i 是理論期望次數。若 X^2 小於臨界值，表示洗完的牌序「夠隨機」。

本文核心聚焦在卡方檢定的方式，方便我們以模擬的角度去找到洗牌次數的關鍵。

5. 核心想法：洗牌次數 vs. 隨機性

不論是52張、或60張，關鍵就在「洗幾次」才能接近理想分布。

洗1~2次：通常都會留下明顯的偏差，對手若敏銳就能抓到洗牌不澈底的蛛絲馬跡。
洗7~8次左右：對於52張牌的撲克牌，理論模型顯示幾乎足夠隨機。對60張MTG套牌，可能需要多洗幾次。
洗到10~11次以上：再多洗效果增益有限，因為「隨機性」在這之後曲線已經趨於飽和。

6. 研究結果與結論

在針對52張撲克牌的洗牌研究中，Bayer與Diaconis所提出的結論指出，連續進行 7 次 隨機洗牌後，便能讓撲克牌的排列幾乎達到「與完全隨機無顯著差異」的程度。這也呼應先前 Bayer & Diaconis (1992) 的推論：洗牌次數大約與 (3/2(logN/log2) 近似。若以 (n = 52\）代入，計算值約略為8.8次，與實際實驗結果（7次即足夠）相去不遠。

本研究以同樣的理論基礎，將 撲克牌改為60張的MTG套牌（多數基本套牌設計約為60張），並執行大規模的電腦模擬與卡方檢定，探討「從初始狀態洗至接近完全隨機」所需的洗牌次數。理論上，由Aldous與Bayer & Diaconis的公式推得9次 (3/2(logN/log2), N=60) ，意味著洗9次左右應能達到接近最大隨機性。然而，實際模擬結果顯示，隨機洗牌次數約在 6～7次 就已經能使 「整副60張牌的重新排列」和「理想的完全隨機排列」間無顯著差異。

一、模擬與檢定方法

程式模擬
- 為了準確估計洗牌次數的影響，本研究針對「隨機切入點洗牌（riffle shuffle）」進行共20萬次的模擬。
- 每次皆從「固定的初始排法」開始洗牌，連續進行 (k) 次洗牌後，記錄最終牌序與初始排法的「距離」（total_distance）。
- 洗牌方法模型建立：
  1. 切牌
    - 設定切牌位置「大約」在正中央切開。接著設定切牌位置「偏離」中心位置的幅度，使用標準差0.3(整體30%)。最後確保每半邊至少有幾張牌（程式中預設最少5張）
  2. 交疊（riffle）
    - 決定一次「從左邊放幾張」或「從右邊放幾張」的機率分布。
      - 有60%的機會只放1張
      - 25%的機會一次放2張
      - 15%的機會一次放3張
    - 程式會先從左堆拿1～3張放到新牌堆，再從右堆拿1～3張放到新牌堆，如此交錯進行，直到兩堆牌都放完。
- 重複上述程序，藉由大量抽樣（萬次級）穩定估計各種洗牌次數下的牌序分布。
卡方檢定（Chi-square Test）
- 以各次洗牌後的 total_distance 為指標，分組後與「完全隨機之下的距離分布」進行卡方檢定。
- 虛無假設（H0）：該洗牌次數的分布與完全隨機的分布無顯著差異。
- 顯著水準 (α)：0.05。
- 若檢定結果 p-value > 0.05，即「不拒絕 H0」，表示該洗牌次數足以讓牌序達到與完全隨機無顯著差異的程度。

註一、 Riffle Shuffle 的概念：

分牌：想像你手中有一副牌，將它分成兩疊。這個動作就像是用大拇指和其他手指將牌分成兩部分。

交錯插入：接著，從這兩疊牌中交替地隨機抽出一~三張牌，將它們重新組合成一副牌。這個過程就像是將兩疊牌的邊緣對齊，然後用手指輕輕地讓牌交錯地掉落。

二、模擬分析結果

以下表格整合了從洗牌0次到20次之卡方檢定統計量（Chi2_stat）、自由度 (DOF)、p-value，以及模擬得到的分布敘述統計量 (Mean、Std、Q1、Median、Q3、Min、Max）。

註二：此處 X^2 檢定之自由度（DOF）預設為 49，完全隨機的情況則不適用。

Shuffles	X^2_stat	p_value	拒絕H0
1	355.9	0.00	是
2	234.9	0.00	是
3	152.5	0.00	是
4	100.6	0.00	是
5	67.5	0.04	是
6	49.2	0.47	否
7	42.6	0.73	否
8	36.0	0.92	否
9	33.2	0.96	否
10	31.9	0.97	否
11	32.0	0.97	否
12	31.9	0.97	否
–	–	–	–
20	30.9	0.98	否

根據表格可知：

洗牌1~5次，其p-value皆小於0.05，表示此時「與完全隨機有顯著差異」。
從洗牌 6次開始，p-value上升到0.4663且大於0.05，代表「與完全隨機無顯著差異」。
此後洗牌次數再增長，p-value多維持在高於0.05的範圍，顯示排列分布已趨於與「理想完全隨機」相近。

三、最終建議

模擬結果：
- 本實驗顯示，對 60張MTG套牌 而言，從初始排法連續洗至 6次以上，即可達到卡方檢定中「不拒絕與完全隨機分布相同」的水準。
建議與限制：
- 若是一般與朋友的對局、或較隨意的賽事，洗 5~6次 就能有不錯的隨機性。
- 若是正式比賽或希望最大程度消弭「記憶、預測」等影響，則可考慮遵循理論上建議的 8~9次甚至更多。
- 以上結論仍依賴於「隨機切入點洗牌（riffle shuffle）」的假設，根據研究切牌、印度式洗牌、大洗都幾乎無法達成隨機的目標，可能導致實際隨機程度不足。